Momen Gaya (torsi)
Dalam gerak rotasi, penyebab
berputarnya benda merupakan momen gaya atau torsi. Momen gaya atau torsi sama
dengan gaya pada gerak tranlasi. Momen gaya (torsi) adalah sebuah besaran yang
menyatakan besarnya gaya yang bekerja pada sebuah benda sehingga mengakibatkan
benda tersebut berotasi. Besarnya momen gaya (torsi) tergantung pada gaya yang
dikeluarkan serta jarak antara sumbu putaran dan letak gaya. Apabila Anda ingin
membuat sebuah benda berotasi, Anda harus memberikan momen gaya pada benda
tersebut. Torsi disebut juga momen gaya dan merupakan besaran vektor. Untuk
memahami momen gaya anda dapat melakukan hal berikut ini. Ambillah satu
penggaris. Kemudian, tumpukan salah satu ujungnya pada tepi meja. Doronglah
penggaris tersebut ke arah atas atau bawah meja. Bagaimanakah gerak penggaris?
Selanjutnya, tariklah penggaris tersebut sejajar dengan arah panjang penggaris.
Apakah yang terjadi?
Saat
Anda memberikan gaya F yang arahnya tegak lurus terhadap penggaris,
penggaris itu cenderung untuk bergerak memutar. Namun, saat Anda memberikan
gaya F yang arahnya sejajar dengan panjang penggaris, penggaris tidak
bergerak. Hal yang sama berlaku saat Anda membuka pintu. Gaya yang Anda berikan
pada pegangan pintu, tegak lurus terhadap daun pintu sehingga pintu dapat
bergerak membuka dengan cara berputar pada engselnya. Gaya yang menyebabkan
benda dapat berputar menurut sumbu putarnya inilah yang dinamakan momen
gaya. Torsi adalah hasil perkalian silang antara vektor posisi r dengan
gaya F, dapat dituliskan
rumus
torsi momen gaya
Gambar 6.8 Sebuah batang dikenai gaya sebesar yang tegak lurus terhadap
batang dan berjarak sejauh r terhadap titik tumpu O. Batang tersebut memiliki momen gaya
τ = r × F
Definisi
momen gaya secara matematis dituliskan sebagai berikut.
τ
= r ×
F
|
dengan:
r =
lengan gaya = jarak sumbu rotasi ke titik tangkap gaya (m),
F =
gaya yang bekerja pada benda (N), dan
τ
= momen gaya (Nm).
Besarnya
momen gaya atau torsi tergantung pada besar gaya dan lengan gaya. Sedangkan
arah momen gaya menuruti aturan putaran tangan kanan, seperti yang ditunjukkan
pada Gambar berikut:
Jika arah putaran
berlawanan dengan arah jarum jam maka arah momen gaya atau torsi ke atas, dan
arah bila arah putaran searah dengan arah putaran jarum jam maka arah momen
gaya ke bawah. Perhatikan Gambar 6.9. Pada gambar tersebut tampak dua
orang anak sedang bermain jungkat-jungkit dan berada dalam keadaan setimbang,
walaupun berat kedua anak tidak sama. Mengapa demikian? Hal ini berhubungan
dengan lengan gaya yang digunakan. Anak yang lebih ringan berjarak 3 m dari
titik tumpu (r1 = 3 m), sedangkan anak yang lebih
berat memiliki lengan gaya yang lebih pendek, yaitu r2 = 1,5
m. Momen gaya yang dihasilkan oleh masing-masing anak adalah
τ1 = r1
× F1
= (3 m)(250 N)
= 750 Nm
τ2 = r2 × F2
= (1,5 m)(500 N)
= 750 Nm
= (3 m)(250 N)
= 750 Nm
τ2 = r2 × F2
= (1,5 m)(500 N)
= 750 Nm
Gambar 6.9 Jungkat-jungkit setimbang karena momen gaya pada kedua
lengannya sama besar.
Dapat
disimpulkan bahwa kedudukan setimbang kedua anak adalah akibat momen gaya pada
kedua lengan sama besar.
Gambar 6.10 Momen gaya yang ditimbulkan oleh gaya yang membentuk sudut θ
terhadap benda (lengan gaya = r).
Perhatikan
Gambar 6.10 Apabila gaya F yang bekerja pada benda membentuk
sudut tertentu dengan lengan gayanya (r), Persamaan (6–18) akan
berubah menjadi
τ
= rFsinθ
|
……………
(6–19)
Dari
Persamaan (6–19) tersebut, Anda dapat menyimpulkan bahwa gaya yang
menyebabkan timbulnya momen gaya pada benda harus membentuk sudut θ terhadap
lengan gayanya. Momen gaya terbesar diperoleh saat θ =90° (sinθ = 1), yaitu
saat gaya dan lengan gaya saling tegak lurus. Anda juga dapat menyatakan bahwa
jika gaya searah dengan arah lengan gaya, tidak ada momen gaya yang ditimbulkan
(benda tidak akan berotasi). Perhatikanlah Gambar 6.11a dan 6.11b.
Gambar 6.11 Semakin panjang lengan gaya, momen gaya yang dihasilkan oleh
gaya akan semakin besar.
Arah
gaya terhadap lengan gaya menentukan besarnya momen gaya yang ditimbulkan.
Momen gaya yang dihasilkan oleh gaya sebesar F pada Gambar 6.11b lebih
besar daripada momen gaya yang dihasilkan oleh besar gaya F yang sama
pada Gambar 6.11a. Hal tersebut disebabkan sudut antara arah gaya
terhadap lengan gayanya. Momen gaya yang dihasilkan juga akan semakin besar
jika lengan gaya semakin panjang, seperti terlihat pada Gambar 6.11c.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar gaya F yang sama akan
menghasilkan momen gaya yang lebih besar jika lengan gaya semakin besar.
Prinsip ini dimanfaatkan oleh tukang pipa untuk membuka sambungan antarpipa.
Sebagai besaran vektor, momen gaya τ memiliki besar dan arah. Perjanjian
tanda untuk arah momen gaya adalah sebagai berikut.
Contoh
pemanfaatan torsi momen gaya pada pemutar baut
a.
Momen gaya,τ , diberi tanda positif jika cenderung memutar benda searah
putaran jarum jam, atau arahnya mendekati pembaca.
b.
Momen gaya,τ , diberi tanda negatif jika cenderung memutar benda
berlawanan arah putaran jarum jam, atau arahnya menjauhi pembaca.
Gambar 6.12 (a) Gaya yang menghasilkan momen gaya positif (mendekati
pembaca) ditandai dengan titik. (b) Gaya yang menghasilkan momen gaya negatif
(menjauhi pembaca) ditandai dengan tanda silang.
Perjanjian
tanda untuk arah momen gaya ini dapat dijelaskan dengan aturan tangan kanan,
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.12. Arah jarijari merupakan arah
lengan gaya, dan putaran jari merupakan arah gaya (searah putaran jarum jam
atau berlawanan arah). Arah yang ditunjukkan oleh ibu jari Anda merupakan arah
momen gaya (mendekati atau menjauhi pembaca). Perhatikan Gambar 6.13.
Jika pada benda bekerja beberapa gaya, momen gaya total benda tersebut adalah
sebagai berikut. Besar τ yang ditimbulkan oleh F1 dan F2
terhadap titik O adalah τ1 dan τ2. τ1 bernilai
negatif karena arah rotasi yang ditimbulkannya berlawanan arah putaran jarum
jam. Sedangkan, τ2 bernilai positif karena arah rotasi yang
ditimbulkannya searah putaran jarum jam. Resultan momen gaya benda itu terhadap
titik O dinyatakan sebagai jumlah vektor dari setiap momen gaya. Secara
matematis dituliskan
τtotal = Σ
(r × F)
atau
τtotal = τ1 + τ2
atau
τtotal = τ1 + τ2
Contoh Soal Momen Gaya
Pada
sebuah benda bekerja gaya 20 N seperti pada gambar. Jika titik tangkap gaya
berjarak 25 cm dari titik P, berapakah besar momen gaya terhadap titik P?
Jawab
Diketahui: F = 20 N, r = 25 cm, dan θ = 150°.
τ = r F sinθ
= (0,25 cm)(20 N)(sin 150°)
= (0,25 cm)(20 N)( ½ )
= 2,5 Nm.
Diketahui: F = 20 N, r = 25 cm, dan θ = 150°.
τ = r F sinθ
= (0,25 cm)(20 N)(sin 150°)
= (0,25 cm)(20 N)( ½ )
= 2,5 Nm.
Sebuah
gaya F = (3i + 5j) N memiliki lengan gaya r = (4i + 2j) m
terhadap suatu titik poros. Vektor i dan j berturut-turut adalah vektor
satuan yang searah dengan sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat
Kartesian. Berapakah besar momen gaya yang dilakukan gaya F terhadap
titik poros?
Jawab
Diketahui: F =
(3i + 5j)N dan r = (4i + 2j)m.
τ = r × F = (4i + 2j)m × (3i + 5j)N = (4)(5) (k) Nm + (2)(3) (–k) Nm = 14 k
Jadi, besarnya momen gaya 14 Nm yang searah sumbu z.
τ = r × F = (4i + 2j)m × (3i + 5j)N = (4)(5) (k) Nm + (2)(3) (–k) Nm = 14 k
Jadi, besarnya momen gaya 14 Nm yang searah sumbu z.
Batang
AC yang panjangnya 30 cm diberi gaya seperti terlihat pada gambar.
Jika
BC = 10 cm dan F1 = F2 = 20 N, berapakah
momen gaya total terhadap titik A?
Jawab
Diketahui: r1 = 20 cm, F1
= F2 = 20 N, r2 = 30 cm, θ1
=53°, dan θ2 = 90°.
τ = –r1 F1 sinθ1 + r2 F2 sinθ2
= –(0,2 m)(20 N)(sin 53°) + (0,3 m)(20 N)(sin 90°)
= –3,2 Nm + 6 Nm = –2,8 Nm.
τ = –r1 F1 sinθ1 + r2 F2 sinθ2
= –(0,2 m)(20 N)(sin 53°) + (0,3 m)(20 N)(sin 90°)
= –3,2 Nm + 6 Nm = –2,8 Nm.
Momen insersia
(satuan SI
kg m2) adalah ukuran ketahanan objek terhadap perubahan laju rotasinya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada massa. Dengan kata lain, besaran ini adalah kelembaman sebuah
benda tegar yang berputar terhadap rotasinya. Momen inersia berperan dalam
dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan
antara momentum
sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Meskipun pembahasan skalar
terhadap momen inersia, pembahasan menggunakan pendekatan tensor
memungkinkan analisis sistem yang lebih rumit seperti gerakan giroskopik.
Lambang
I dan kadang-kadang juga J biasanya digunakan untuk merujuk
kepada momen inersia.
Konsep
ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a Theoria motus
corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730.[1] Dalam buku tersebut, dia mengupas
momen inersia dan banyak konsep terkait.
Definisi skalar
Definisi
sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari sembarang
objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh rumus:
di
mana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu
rotasi.
Analisis
Momen
inersia (skalar) sebuah massa titik yang berputar pada sumbu yang diketahui
didefinisikan oleh
Momen
inersia adalah aditif. Jadi, untuk sebuah benda tegar yang terdiri atas N massa titik
mi dengan jarak ri terhadap sumbu rotasi, momen
inersia total sama dengan jumlah momen inersia semua massa titik:
Untuk
benda pejal yang dideskripsikan oleh fungsi kerapatan massa ρ(r),
momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan mengintegralkan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi,
dikalikan dengan kerapatan massa pada suatu titik di benda tersebut:
di
mana
V adalah volume yang ditempati objek
ρ adalah fungsi kerapatan spasial objek
r = (r,θ,φ), (x,y,z),
atau (r,θ,z) adalah vektor (tegaklurus terhadap sumbu
rotasi) antara sumbu rotasi dan titik di benda tersebut.
Diagram
perhitungan momen inersia sebuah piringan. Di sini k adalah 1/2 dan adalah
jari-jari yang digunakan untuk menentukan momen inersia
Berdasarkan
analisis
dimensi saja, momen inersia
sebuah objek bukan titik haruslah mengambil bentuk:
di
mana
M adalah massa
R adalah jari-jari objek dari pusat
massa (dalam beberapa kasus, panjang objek yang digunakan)
k adalah konstanta tidak berdimensi yang
dinamakan "konstanta inersia", yang berbeda-beda tergantung pada
objek terkait.
Konstanta
inersia digunakan untuk memperhitungkan perbedaan letak massa dari pusat
rotasi. Contoh:
·
k = 1, cincin tipis atau silinder tipis
di sekeliling pusat
·
k = 2/5, bola pejal di sekitar pusat
·
k = 1/2, silinder atau piringan pejal di
sekitar pusat.
Cincin tipis berjari-jari R,
bermassa M dan lebar L (sumbu rotasi terletak di
tengah-tengah salah satu diameter)
Cincin tipis berjari-jari R, bermassa M dan lebar L
(sumbu rotasi terletak pada salah satu garis singgung)
Silinder berongga,
dengan jari-jari dalam R2 dan jari-jari luar R1
Silinder padat
dengan jari-jari R (sumbu rotasi terletak pada sumbu
silinder)
Silinder padat dengan jari-jari R
(sumbu rotasi terletak pada diameter pusat)
Bola pejal dengan jari-jari R
(sumbu rotasi terletak pada salah satu diameter)
Kulit Bola dengan jari-jari R
(sumbu rotasi terletak pada salah satu diameter)
Batang pejal yang panjangnya L
(sumbu rotasi terletak pada pusat )
Batang pejal yang panjangnya L
(sumbu rotasi terletak pada salah satu ujung)
Balok pejal yang panjangnya P dan lebarnya L
(sumbu rotasi terletak pada pusat; tegak lurus permukaan)
Latihan Soal 1 :
Sebuah
partikel bermassa 2 kg diikatkan pada seutas tali yang panjangnya 0,5 meter
(lihat gambar di bawah). Berapa momen Inersia partikel tersebut jika diputar ?
Panduan Jawaban :
Catatan
:
Yang
kita bahas ini adalah rotasi partikel, bukan benda tegar. Jadi bisa dianggap
massa benda terkonsentrasi pada pusat massanya.
Momen
inersianya berapa-kah ?
I
= mr2
I
= (2 kg) (0,5m)2
I
= 0,5 kg m2
Gampang…..
Latihan Soal 2 :
Dua
partikel, masing-masing bermassa 2 kg dan 4 kg, dihubungkan dengan sebuah kayu
yang sangat ringan, di mana panjang kayu = 2 meter. (lihat gambar di bawah).
Jika massa kayu diabaikan, tentukan momen inersia kedua partikel itu, jika :
a)
Sumbu rotasi terletak di antara kedua partikel
Panduan Jawaban :
Momen
inersia = 6 kg m2
b)
Sumbu rotasi berada pada jarak 0,5 meter dari partikel yang bermassa 2 kg
Momen
inersia = 9,5 kg m2
c)
Sumbu rotasi berada pada jarak 0,5 meter dari partikel yang bermassa 4 kg
Momen
inersia = 5,5 kg m2
Berdasarkan
hasil perhitungan di atas, tampak bahwa Momen Inersia sangat dipengaruhi oleh
posisi sumbu rotasi. Hasil oprekan soal menunjukkan hasil momen Inersia yang
berbeda-beda. Partikel yang berada di dekat sumbu rotasi memiliki momen inersia
yang kecil, sebaliknya partikel yang berada jauh dari sumbu rotasi memiliki
momen inersia yang besar. Jika kita mengandaikan bahwa kedua partikel di atas
merupakan benda tegar, maka setiap partikel penyusun benda tegar yang berada di
dekat sumbu rotasi memiliki momen inersia yang lebih kecil dibandingkan dengan
momen inersia partikel yang jaraknya lebih jauh dari sumbu rotasi. Walaupun
bentuk dan ukuran sama, tapi karena posisi sumbu rotasi berbeda, maka momen
inersia juga berbeda.
Latihan Soal 3 :
Empat
partikel, masing-masing bermassa 2 kg dihubungkan oleh batang kayu yang sangat
ringan dan membentuk segiempat (lihat gambar di bawah). Tentukan momen inersia
gabungan keempat partikel ini, jika mereka berotasi terhadap sumbu seperti yang
ditunjukkan pada gambar (massa kayu diabaikan).
Momen
iInersia gabungan dari keempat partikel ini (dianggap satu sistem) mudah
dihitung. Jarak masing-masing partikel dari sumbu rotasi sama (rA =
rB = rC = rD = 1 meter). Jarak AC = BD = 4
meter tidak berpengaruh, karena yang diperhitungkan hanya jarak partikel diukur
dari sumbu rotasi.
I
= mr2
I
= (2 kg)(1 m)2
I
= 2 kg m2
Karena
IA = IB = IC = ID = I, maka momen
inersia (I) total :
I
= 4(I)
I
= 4(2 kg m2)
I = 8 kg m2
artikelnya bagus mba, saya lagi butuh buat tugas fisika, eh ketemu disini
BalasHapus